I numeri complessi

A questo punto possiamo passare ai numeri complessi.
Come sappiamo non esiste alcun numero che elevato al quadrato dia un risultato di segno negativo. Ne consegue che la radice quadrata di un numero negativo non può essere un numero reale.
Per questo motivo è stata definita una unità immaginaria intesa come un numero non reale che elevato al quadrato dà come risultato -1. Questa unità viene in genere indicata con la lettera j, quindi

j² = -1    ovvero    j = Ö -1

In questo modo possiamo per esempio scrivere

Ö -16 = Ö -1· Ö 16 = j4
2 + Ö -3 = 2 + Ö -1· Ö 3 = 2 + j Ö 3

In generale qualsiasi numero del tipo

a + jb

si chiama numero complesso in cui a rappresenta la sua parte reale, mentre jb la sua parte immaginaria (definendo b come coefficiente della parte immaginaria).
Per dare una rappresentazione grafica di un numero complesso si usa il cosiddetto piano di Gauss: tracciati due assi ortogonali come in figura 3, riportiamo sull'asse orizzontale, o asse reale, la parte reale del numero complesso e sull'asse verticale, o asse immaginario, il coefficiente della parte immaginaria; il punto P, o il vettore OP, che si ottengono da queste coordinate, rappresenta il numero complesso.

Fig.3: Rappresentazione grafica di un numero complesso

Alcuni esempi di numeri complessi rappresentati in forma grafica sono visibili in figura 4.

Fig.4: Numeri complessi nel piano di Gauss

Per i numeri complessi possiamo così definire il modulo r come la misura del vettore che lo rappresenta (il segmento OP in figura 3), e l'argomento j come l'angolo formato dal vettore rispetto all'asse orizzontale.
In questo modo, seguendo le formule già citate, abbiamo

r = Ö (a²+b²)

tg j =

b a

da cui     j = arctg

b a

che viene definita forma algebrica, mentre poichè si ha

a = r ·cos j
b = r ·sen j

otteniamo che

a + jb = r ·(cos j +sen j )

che viene definita forma trigonometrica.

Spesso per indicare un numero complesso si usa anche una notazione abbreviata detta forma polare:

r |_ j

Un'altro modo ancora per rappresentare un numero complesso è la forma esponenziale che deriva dalla formula di Eulero (che non stiamo a dimostrare ma che ci sarà molto utile in seguito) dove, ponendo

e^{(j· j )} = cos j + sen j

si ha

a + jb = r ·e^{(j· j )}

Per il momento il ripasso è finito e possiamo finalmente passare a trattare i circuiti in regime sinusoidale.

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