Seno, Coseno, Tangente

Cominciamo con le definizioni di seno, coseno e tangente.
Prendiamo in esame una circonferenza di raggio r unitario (r=1) tracciata in un piano cartesiano x,y e con centro nel punto di origine degli assi cartesiani (figura 1). Poi prendiamo un punto qualsiasi della circonferenza e tracciamo una retta da quel punto al centro della circonferenza ottenendo così un triangolo tra i punti OAB e un angolo a tra l'asse delle ascisse x e la retta appena tracciata:

-si definisce seno dell'angolo a il rapporto tra il segmento AB e il segmento OA (ovvero il raggio r del cerchio)

sen a =

AB OA

e poichè OA è pari a 1

sen a = AB

-si definisce coseno dell'angolo a il rapporto tra il segmento OB e il segmento OA

cos a =

OB OA

quindi

cos a = OB

-si definisce tangente dell'angolo a il rapporto tra il segmento AB ed il segmento OB

tg a =

AB OB

=

sen a cos a

in pratica la tangente rappresenta la pendenza del segmento AB, e se immaginiamo di prolungare questo segmento fino ad incontrare nel punto A' la retta perpendicolare all'asse x 'tangente' alla circonferenza (figura 1), notiamo che il rapporto AB/OB equivale al rapporto OA'/OB', e poichè OB'=r=1 appare chiaro che la tangente equivale al segmento A'B'

tg a = A'B'

Fig.1: Rappresentazione grafica di seno, coseno e tangente

Riprendiamo ora il triangolo OAB di figura 1: per il teorame di pitagora possiamo affermare che

AB² + OB² = OA²

quindi

(sen a )² + (cos a )² = r²

da cui

sen a = r·cos a
cos a = r·sen a

Riportiamo di seguito altre formule trigonometriche che ci sarà utile ricordare:

sen(90°- a ) = cos a
sen(90°+ a ) = cos a
cos(90°- a ) = sen a
cos(90°+ a ) = sen a
sen(180°+ a ) = -sen a
cos(180°+ a ) = -cos a

Ricordiamo che gli angoli si misurano in gradi o in radianti: il grado equivale alla 360^esima parte di una circonferenza, mentre il radiante è definito come l'angolo il cui arco corrispondente ha una lunghezza l pari al raggio r della circonferenza e poichè l'intera circonferenza è pari a 2 p r, un angolo giro, equivalente a 360°, vale

360° =

2 p r r

= 2 p rad

da cui ricaviamo che

1° =

2 p 360

rad

e viceversa

1 rad =

360 2 p

°

Da notare che il radiante è una unità di misura cosiddetta adimensionale.

Tracciamo ora i grafici dell'andamento di seno, coseno e tangente al variare dell'angolo alfa.
Riportiamo sull'asse delle ascisse (x) l'ampiezza dell'angolo espressa per comodità in radianti (ma, per quanto appena detto, sarebbe la stessa cosa in gradi) e sull'asse delle ordinate (y) le funzioni y=sen x, y=cos x e y=tg x:

Fig.2: Andamento delle funzioni trigonometriche di seno, coseno e tangente

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