I segnali sinusoidali

Una funzione sinusoidale può essere rappresentata graficamente da un vettore di modulo U in un piano di assi x,y che con velocità angolare costante w ruota in senso antiorario. Il valore u della funzione fornisce, istante per istante, l'andamento temporale della funzione stessa e risulta essere

u = U·sen w t

dove w t rappresenta l'angolo a nell'istante t del vettore che viaggia a velocità w (espressa in rad/sec)

Con il termine di segnale sinusoidale intendiamo un qualsiasi segnale elettrico che segue questo tipo di andamento temporale. Così, ad esempio, una tensione sinusoidale v è rappresentata dalla relazione

v = V·sen w t

dove V rappresenta il valore massimo che il segnale può raggiungere, e w rappresenta la pulsazione del segnale.

Possiamo a questo punto definire il periodo di un segnale sinusoidale come il tempo impiegato dal vettore a percorrere un giro completo, cioè 2 p radianti, quindi

T =

2 p w

Definiamo invece la frequenza di un segnale sinusoidale come il numero di rotazioni che il vettore compie nell'unità di tempo, e poichè un giro completo equivale a 2 p radiandi, si ha

f =

w 2 p

ovvero      w = 2 p f

Appare quindi evidente anche la relazione che lega frequenza e periodo

f =

1 T

oppure     T =

1 f

Definiamo poi il valore picco-picco U_pp di un segnale sinusoidale come l'ampiezza massima assoluta che il segnale può raggiungere, perciò

U_pp = 2·U

La rappresentazione temporale che abbiamo fatto fin'ora di un segnale sinusoidale è però generata dalla nostra imposizione arbitraria del fatto che il vettore, all'istante t=0, sia in posizione coincidente con l'asse orizzontale. In realtà, se ci troviamo in presenza di più segnali, potremmo anche avere segnali che all'istante t=0 hanno già percorso un certo angolo, e quindi la relazione u=U·sen w t diventa

u = U·sen( w t+ j )

dove j rappresenta l'angolo di sfasamento del vettore all'istante t=0 (comunemente definito fase del segnale)

Fig.5: Il vettore in rotazione e il relativo grafico temporale

Nei circuiti in regime sinuisoidale, l'utilizzo della forma u=U·sen( w t+ j ) fa sì che i calcoli necessari a risolvere un circuito risultino abbastanza complicati e lunghi. Per questo motivo si è scelto di porre il vettore in un piano di Gauss, in modo da poter rappresentare un segnale sinusoidale come un numero complesso.
In questo modo appare molto più semplice risolvere un circuito, dato che un numero complesso ha molti più modi per essere rappresentato e si rivelano più semplici le operazioni di somma, sottrazione, divisione e moltiplicazione tra numeri complessi che non tra seno, coseno e tangente.

Ecco le varie rappresentazioni che si possono fare di un segnale sinusoidale come numero complesso

Fig.6: Varie rappresentazioni di un segnale sinusoidale

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